[MATHÉMATHIQUES] Si tu RÉSOLVES ces PROBLÈMES, tu es un GÉNIE

trivial

3.5

On remarque que sinx/x vaut 1 en 0 et s'annule en n*pi, pour n dans Z.
On écrit donc informellement le produit infini (on peut justifier son existence avec des quantificateurs)

sinx/x = (1+ x/pi)(1-x/pi)(1+x/2pi)(1-x/2pi)(1+x/3pi)(1-x/3pi)...

= (1- (x/pi)^2) (1-(x/2pi)^2) (1-(x/3pi)^2)...

En développant cette écriture, on voit que le coefficient devant x^2 est -1/pi^2 (1 + 1/4 + 1/9 + ...) = -1/pi^2 somme 1/n^2

De l'autre côté, le DSE de la fonction sinus donne: sin(x) = somme (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!
donc sin(x)/x = somme (-1)^n x^(2n) / 2n+1)!

Dans ces deux développements, les coefficients termes à termes devraient en principe être égaux. Celui devant x^2 dans l'écriture ci-dessus (n=1) vaut -1/3!

On a donc -1/pi^2 somme 1/n^2 = -1/3! = -1/6 <=> somme 1/n^2 = pi^2/6

C'est la démonstration peu rigoureuse mais magnifique qu'Euler a initialement donné pour résoudre le problème, je me devais de la partager

Le 11 mai 2021 à 20:06:23 :
Hello,

J'aime bien les mathématiques et j'aime aussi les petits problèmes destinés à faire chauffer notre cerveau. Je vous en propose quelques uns. J'essaierai d'alimenter (ir)régulièrement ce sujet.

1 : On note Pow(n,a) l'élévation à la puissance a de l'entier n. Par exemple Pow(2,4) = 16 et Pow(3,2) = 9. Combien existe-t-il de couples d'entiers (x,y) tels que Pow(x,y) = Pow(y,x), avec x compris entre 0 et 5 ?

1 seul entier, 2⁴ = 4²

2 : Je lance trois dés équilibrés à 6 faces et je note X le produit des résultats. Quelle est la probabilité que X soit un carré d'entier ?

18/216

3 : Combien y a-t-il de nombres entre 1 et 1000000 qui possèdent au moins un 11 dans leur écriture décimale ?

À la suite ? 111 est valide ? Si oui je dirais 261006
J'ai presque brute force avec un papier et un stylo
( = 6 + 2×9×10⁴ + 4×9²×10³)

3.5 : : Une preuve sur la convergence vers pow(pi, 2)/6 de la somme des inverses des carrés ?

Ma preuve : développer la fonction affine qui vaut 1 en pi et -1 en -pi en série de Fourier et appliquer la formule de Parseval. On retombe exactement sur la somme des inverses des carrés.

Cool

4 : Quentin lance une pièce jusqu'à obtenir 2 faces un 1 pile consécutif. En gros, il lance la pièce jusqu'à voir apparaître le motif FFP. Et là il s'arrête. Combien de fois en moyenne devra-t-il lancer la pièce pour voir le motif apparaitre ?

2³+3 donc 11

5 : Je joue au jeu de plateau Serpents et Echelles (snakes and ladders). Combien de fois, en moyenne, devrais-je lancer le dé, en partant de la case 1, pour arriver à la case 100 ? (et il faut prendre en compte le fait que si, par exemple, on est sur la case 99 et qu'on lance le dé et qu'on obtient un 5, on retourne en 96 module si il y a une échelle ou pas).

J'ai pas comprendre le jeu

6 : Le problème de Monty Hall
Supposez que vous êtes sur le plateau d'un jeu télévisé, face à trois portes et que vous devez choisir d'en ouvrir une seule, en sachant que derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière les deux autres des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la numéro 1, et le présentateur, qui sait, lui, ce qu'il y a derrière chaque porte, ouvre une autre porte, disons la numéro 3, porte qui une fois ouverte découvre une chèvre. Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? ». Avez-vous intérêt à changer votre choix ?

Très connu, il faut changer
Et enseigner le bayésianisme

7 : AntoineForum joue aux dés avec Dextre. Dextre commence. S’il fait un 6, il gagne et la partie s'arrête. Sinon c'est à AntoineForum de jouer. S’il fait 6 il gagne et la partie s'arrête. Sinon Dextre reprend la main et ainsi de suite.
Quelle est la probabilité que AntoineForum gagne la partie ?

1/7 (ou 6/36)
Probabilités paradoxales

Plus sérieusement :
1/6 + (1-1/6)/6² + (1- (1-(1/6))/6²) /6² etc
1/6 + 5/216 + 211/7776 etc
U⁰ = 1/6
Uⁿ+¹ = (1-Uⁿ)/36

Mais logiquement ça devrait tendre vers 1/2 car les règles du jeu sont identiques pour chacun et que la loi des grands nombres dit que peu importe qui commence, Antoine a autant de chances que Dextre

8 : Dans une piece, il y a 100 interrupteurs numérotés de 1 à 100. Tous sont éteints. Il y a également 100 employés chargés du nettoyage également numérotés de 1 à 100. Quand un employé entre, il switche tous les interrupteurs qui sont multiple du numéro qu'il porte. Les employés entrent par numéro croissant. Le premier employé switche tous les interrupteurs vers ON. Quand l'employé deux entre, il switche les interrupteurs 2, 4, 6, … et quand l'employé 3 entre, il switche les interrupteurs 3, 6, 9, 12, …
Quel est l'état de l'interrupteur 64 ?

Quand 64 n'est switch que par 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64
Il est donc ON

Quels sont les interrupteurs encore allumés quand l'employé 100 resort ?

Tous les interrupteurs premiers seront activés qu'une fois. L'interrupteur 1 aussi, les interrupteurs n², n⁴ et n⁶ aussi n étant premier et par n×m et n×m×p×q, n, m, p, q étant premiers ou multiples de 2 premiers (comme 6 ou 14)
En gros, il faut qu'il y ait un nombre pair de facteurs premiers quoi.
Je dirais qu'il reste : 1, 4, 16, 64, 9, 25, 36, 49, 81, 6, 10, 14, 22, 26 etc. J'ai la flemme, mais le nombre de facteurs premiers doit être pair

9 : Vous êtes au centre d'un pré circulaire boueux. Au bout du cercle il y a un chien enragé. Vous devez sortir du bourbier et vous enfuir. Seulement, le chien, lorsqu'il court sur la terre ferme, va 4 fois plus vite que vous lorsque vous êtes dans le bourbier. Une fois le pied posé sur terre, vous êtes plus rapide que lui. Sachant que le chien est intelligent et choisit toujours le chemin le plus court - tout en contournant le bourbier - pour vous rejoindre sur la terre ferme, quelle stratégie adopter pour parvenir à fuir ?

Celui là est très dur, j'ai élaboré une stratégie qui marche dans ma tête mais si on marche en boucle en forme de cercle avec un rayon 1/(1-1/pi) (environ 5 quoi) fois plus petit, on devrait arriver à échapper au chien a un moment, si on suppose que le chien ne connaît pas notre technique et qu'il essaye de se rapprocher le plus possible de nous sans entrer dans le cercle. Ca devrait marcher

10 : Vous lancez un dé et vous sommez les résultats. Quelle est la proba d'arriver à un moment sur le nombre 52 ? Vous pouvez y arriver au 14e comme au 21e comme au 10e lancer, mais quelle est la proba de l'atteindre ?

Je sais pas

11 : On considere un pavé P(n) de taille 2 fois n. On a à notre disposition des dominos de taille 1 fois 2. De combien de façons peut-on paver le pavé P(n) avec nos dominos ?

n entier ? Les dominos n'ont pas de sens ?
C'est pas Fibonacci ? Ca me semble être ça
P(0)=F(0)=1
P(1)=F(1)=1
P(2)=F(2)=2
P(5)=F(5)=8
P(n)=F(n)

12 : Même question que précédemment mais on a un pavé G(n) de taille 3 fois 2n, de combien de façons peut-on le paver avec nos dominos ?

G(0) = 1
G(1) = 3
G(2) = 11
G(3) = 123 (?)

C'est du G(n) = G(n-1)²+2

13 : On considere une sphère de rayon R > 0. On considère un cône inscrit dans la sphère. Quelle est l'angle du cône qui maximise l'aire latérale de ce cône dans la sphère ? C'est-á-dire qu'on ne compte que la partie latérale et pas la base elliptique du cône dans l'aire.

14 : On considère un bâton qui mesure 1m. On le casse en deux en choisissant le point de cassure au hasard (selon une loi uniforme). Que vaut, en moyenne, le rapport du plus petit bout sur le plus grand bout ?

15 : On tire au hasard deux nombres dans l'intervalle [0, 1], selon une loi uniforme. On les note X et Y. Quelle est la proba que la partie entiere de X / Y soit un nombre impair ?

16 : Un peu d'analyse. On considere une suite numérique á’à termes strictement positifs { an, n > 0 }. Et on note Rho(n) = n * [ (a(n) / a(n+1) ) - 1 ]. Montrer que si Rho(n) tend vers c, avec c > 1, alors la série des an converge.
Pousser un peu plus fort le résultat en supposant non pas la convergence mais que lim inf Rho > 1 .

Je vais dormir

Au final j'ai menti, je suis parti dormir à 6h
Néanmoins, j'ai la flemme de continuer de faire les énigmes

Pour la 14, je dirais que c'est 1/e
Pour la 16 c'est évident

Le 12 mai 2021 à 13:26:32 :
Au final j'ai menti, je suis parti dormir à 6h
Néanmoins, j'ai la flemme de continuer de faire les énigmes

La 2 tu as le bon raisonnement mais t’as du fait à un moment car le résultat c’est pas ça