[Help] Transformée de Laplace

Le 07 janvier 2021 à 19:21:44 FGhnjd4 a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:20:20 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:19:41 FGhnjd4 a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:12:35 Ass2Pick a écrit :
Bon j'ai un problème avec une transformée inverse de Laplace.

J'ai la transformée H(p) = 1/[(p+1)*(p+2)]

Voilà j'ai essayé de transformé 1/[(p+1)*(p+2)] en [1/(p+1)]*[1/(p+2)]

Mon but était de dire que la définition du produit de convolution étant L(f * g) = F(p)*G(p)

j'ai voulu identifié 1/(p+1) avec F(p)

et 1/(p+2) avec G(p)

pour en conclure que f(t) = exp(-t)*exp(-2t) soit e^-3.

Evidemment, ça ne marche pas.

Est-ce parce que le produit de convolution ne fonctionne que dans un sens ou bien que car j'ai séparé mon H(p) en F(p)*G(p) ?

Merci d'avance pour vos réponses

produit de convolution f*g = integrale de f(x-t)g(t)dt.

Du coup le problème vient de la propriété de l'intégrale ?

ca fait longtemps que j'ai pas fais ca mais j'ai l'impression que tu essaye d'identifier des choses sans vraiment comprende les définitions. Il y a un exercice super classique qui consiste à faire le produit de convolution de deux fonction rectangle, tu devrais essayer de faire ca

Bon il semblerait que j'ai pas compris ce qu'était un produit de convolution effectivement.

je suis pas mathématicien mais je suis informaticiens donc dans le doute supprime system.32https://image.noelshack.com/fichiers/2018/29/6/1532128784-risitas33.png

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

L'objectif de son exercice ça doit être de trouver les transformés inversés de Laplace.

C'est pour ça qu'ils lui ont demandé une décomposition en éléments simple et qu'il essaie de faire des identifications bizarre entre F(p) et 1/(p+1)

Il faudrait que l'op post une photo de son exo sur le topic

https://image.noelshack.com/fichiers/2020/08/6/1582349503-ritsu-11.png

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Le 07 janvier 2021 à 19:28:30 ritsuXyui a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

L'objectif de son exercice ça doit être de trouver les transformés inversés de Laplace.

C'est pour ça qu'ils lui ont demandé une décomposition en éléments simple et qu'il essaie de faire des identifications bizarre entre F(p) et 1/(p+1)

Il faudrait que l'op post une photo de son exo sur le topic

https://image.noelshack.com/fichiers/2020/08/6/1582349503-ritsu-11.png

C'était juste pour lui confirmer que sa méthode était correcte (même si c'est pas la méthode du manuel) : ça peut toujours l'intéresser de savoir que cette méthode fonctionne, mais qu'il s'est juste planté dans ses calculs. En tout cas moi ça m'aurait intéressé de savoir à sa place.

Le 07 janvier 2021 à 19:28:30 ritsuXyui a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

L'objectif de son exercice ça doit être de trouver les transformés inversés de Laplace.

C'est pour ça qu'ils lui ont demandé une décomposition en éléments simple et qu'il essaie de faire des identifications bizarre entre F(p) et 1/(p+1)

Il faudrait que l'op post une photo de son exo sur le topic

https://image.noelshack.com/fichiers/2020/08/6/1582349503-ritsu-11.png

Oui tu as raison. C'est juste de la décomposition.

Mais il m'est juste donné H(p) = 1/[(p+1)*(p+2)] trouvez l'originale

Le 07 janvier 2021 à 19:30:50 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Je viens de te dire que c'est juste, mais que tu t'es planté dans ton produit de convolution :

H(p) = F(p) . G(p) = 1/(p+1) . 1/(p+2)

Donc f(t) = exp(-t) et g(t) = exp(-2t)

Donc (l'intégrale est de 0 à x):

h(x) = (f * g)(x) = int exp(-x + t) . exp(-2t) . dt
= int exp(-x-t) . dt
= [exp(-x-t)]_{t=0}^{t=x}
= exp(-x) - exp(-2x)

Après si tu crois mieux savoir que moi, je te laisse décider

Le 07 janvier 2021 à 19:33:20 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:28:30 ritsuXyui a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

L'objectif de son exercice ça doit être de trouver les transformés inversés de Laplace.

C'est pour ça qu'ils lui ont demandé une décomposition en éléments simple et qu'il essaie de faire des identifications bizarre entre F(p) et 1/(p+1)

Il faudrait que l'op post une photo de son exo sur le topic

https://image.noelshack.com/fichiers/2020/08/6/1582349503-ritsu-11.png

Oui tu as raison. C'est juste de la décomposition.

Mais il m'est juste donné H(p) = 1/[(p+1)*(p+2)] trouvé l'originale

C'est juste la décomposition en éléments simple qui me semble incorrect

Tu dois poser

a/(p+1) + b/(p+2) = 1/[(p+1)*(p+2)]

Et là tu auras avec le passage à l'exponentiel un produit G(p) *F(p)

Ou un truc du genre. Flemme d'écrire la transformé de Laplace pour toi

Ta méthode fonctionne mais uniquement car ta fonction de transfert est relativement simple.

Le 07 janvier 2021 à 19:36:03 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:30:50 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Je viens de te dire que c'est juste, mais que tu t'es planté dans ton produit de convolution :

H(p) = F(p) . G(p) = 1/(p+1) . 1/(p+2)

Donc f(t) = exp(-t) et g(t) = exp(-2t)

Donc (l'intégrale est de 0 à x):

h(x) = (f * g)(x) = int exp(-x + t) . exp(-2t) . dt
= int exp(-x-t) . dt
= [exp(-x-t)]_{t=0}^{t=x}
= exp(-x) - exp(-2x)

Après si tu crois mieux savoir que moi, je te laisse décider

Soit dit en passant, il me semble que en faisant la transformé de Laplace de exp(-x) - exp(-2x),
je ne retombe pas sur H(p).

Le 07 janvier 2021 à 19:43:18 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:36:03 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:30:50 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Je viens de te dire que c'est juste, mais que tu t'es planté dans ton produit de convolution :

H(p) = F(p) . G(p) = 1/(p+1) . 1/(p+2)

Donc f(t) = exp(-t) et g(t) = exp(-2t)

Donc (l'intégrale est de 0 à x):

h(x) = (f * g)(x) = int exp(-x + t) . exp(-2t) . dt
= int exp(-x-t) . dt
= [exp(-x-t)]_{t=0}^{t=x}
= exp(-x) - exp(-2x)

Après si tu crois mieux savoir que moi, je te laisse décider

Soit dit en passant, il me semble que en faisant la transformé de Laplace de exp(-x) - exp(-2x),
je ne retombe pas sur H(p).

tu va trouver un truc sous la forme a/(p+1)+b/(p+2), faut redévloper pour avoir la même fonction que l'exercice

La transformée inverse d'une somme de fonctions dans le domaine de Laplace est égale à la somme des transformées inverses.

MAIS La transformée inverse d'un produit de fonctions dans le domaine de Laplace n'est pas égale au produit des transformées inverses.

Il faut utiliser une décomposition en éléments simples pour transformer le produit en somme

https://wikimeca.org/index.php/Transformation_de_Laplace

Si ça peut t'aider

https://image.noelshack.com/fichiers/2020/08/6/1582349503-ritsu-11.png

Le 07 janvier 2021 à 19:43:18 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:36:03 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:30:50 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Je viens de te dire que c'est juste, mais que tu t'es planté dans ton produit de convolution :

H(p) = F(p) . G(p) = 1/(p+1) . 1/(p+2)

Donc f(t) = exp(-t) et g(t) = exp(-2t)

Donc (l'intégrale est de 0 à x):

h(x) = (f * g)(x) = int exp(-x + t) . exp(-2t) . dt
= int exp(-x-t) . dt
= [exp(-x-t)]_{t=0}^{t=x}
= exp(-x) - exp(-2x)

Après si tu crois mieux savoir que moi, je te laisse décider

Soit dit en passant, il me semble que en faisant la transformé de Laplace de exp(-x) - exp(-2x),
je ne retombe pas sur H(p).

Ben t'as dû te planter (encore une fois). C'est absolument trivial:

h(x) = f(x) - g(x) avec :

f(x) = exp(-x) et g(x) = exp(-2x)

donc F(p) = 1/(p+1) et G(p) = 1/(p+2)

et donc:

H(p) = F(p) - G(p) = 1/(p+1) - 1/(p+2) = ( (p+2) - (p+1) ) / ((p+1)(p+2)) = 1 / (p+1)(p+2)

Ce qui est équivalent à la décomposition en élément simple (c'est normal pour une fraction rationnelle).

Le 07 janvier 2021 à 19:45:52 ritsuXyui a écrit :
La transformée inverse d'une somme de fonctions dans le domaine de Laplace est égale à la somme des transformées inverses.

MAIS La transformée inverse d'un produit de fonctions dans le domaine de Laplace n'est pas égale au produit des transformées inverses.

Il faut utiliser une décomposition en éléments simples pour transformer le produit en somme

https://wikimeca.org/index.php/Transformation_de_Laplace

Si ça peut t'aider

https://image.noelshack.com/fichiers/2020/08/6/1582349503-ritsu-11.png

Bon bah.

Merci

Le 07 janvier 2021 à 19:46:35 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:43:18 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:36:03 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:30:50 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Je viens de te dire que c'est juste, mais que tu t'es planté dans ton produit de convolution :

H(p) = F(p) . G(p) = 1/(p+1) . 1/(p+2)

Donc f(t) = exp(-t) et g(t) = exp(-2t)

Donc (l'intégrale est de 0 à x):

h(x) = (f * g)(x) = int exp(-x + t) . exp(-2t) . dt
= int exp(-x-t) . dt
= [exp(-x-t)]_{t=0}^{t=x}
= exp(-x) - exp(-2x)

Après si tu crois mieux savoir que moi, je te laisse décider

Soit dit en passant, il me semble que en faisant la transformé de Laplace de exp(-x) - exp(-2x),
je ne retombe pas sur H(p).

Ben t'as dû te planter (encore une fois). C'est absolument trivial:

h(x) = f(x) - g(x) avec :

f(x) = exp(-x) et g(x) = exp(-2x)

donc F(p) = 1/(p+1) et G(p) = 1/(p+2)

et donc:

H(p) = F(p) - G(p) = 1/(p+1) - 1/(p+2) = ( (p+2) - (p+1) ) / ((p+1)(p+2)) = 1 / (p+1)(p+2)

Ce qui est équivalent à la décomposition en élément simple (c'est normal pour une fraction rationnelle).

Oui, il est juste en fait.

Mais moi au début je dit que H(p) = F(p)*G(p) mais mon erreur c'était de dire H(p) = F(p) x G(p) si tu préfères.

Le 07 janvier 2021 à 19:54:58 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:46:35 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:43:18 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:36:03 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:30:50 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Je viens de te dire que c'est juste, mais que tu t'es planté dans ton produit de convolution :

H(p) = F(p) . G(p) = 1/(p+1) . 1/(p+2)

Donc f(t) = exp(-t) et g(t) = exp(-2t)

Donc (l'intégrale est de 0 à x):

h(x) = (f * g)(x) = int exp(-x + t) . exp(-2t) . dt
= int exp(-x-t) . dt
= [exp(-x-t)]_{t=0}^{t=x}
= exp(-x) - exp(-2x)

Après si tu crois mieux savoir que moi, je te laisse décider

Soit dit en passant, il me semble que en faisant la transformé de Laplace de exp(-x) - exp(-2x),
je ne retombe pas sur H(p).

Ben t'as dû te planter (encore une fois). C'est absolument trivial:

h(x) = f(x) - g(x) avec :

f(x) = exp(-x) et g(x) = exp(-2x)

donc F(p) = 1/(p+1) et G(p) = 1/(p+2)

et donc:

H(p) = F(p) - G(p) = 1/(p+1) - 1/(p+2) = ( (p+2) - (p+1) ) / ((p+1)(p+2)) = 1 / (p+1)(p+2)

Ce qui est équivalent à la décomposition en élément simple (c'est normal pour une fraction rationnelle).

Oui, il est juste en fait.

Mais moi au début je dit que H(p) = F(p)*G(p) mais mon erreur c'était de dire H(p) = F(p) x G(p) si tu préfères.

Pourtant tu parlais bien du produit de convolution dans ton post... mais si maintenant t'as compris c'est l'essentiel

Le 07 janvier 2021 à 19:59:01 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:54:58 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:46:35 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:43:18 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:36:03 gedeonoedeg a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:30:50 Ass2Pick a écrit :

Le 07 janvier 2021 à 19:22:16 gedeonoedeg a écrit :
Ton produit de convolution se calcule super bien, mais tu t'es planté : tu dois trouver -e^(-2x) + e^(-x) : c'est l'intégrale (par rapport à t) de 0 à x de e^(-(x-t)) * e^(-2*t) et c'est presque trivial à calculer mais ton raisonnement est bon.

Je ne pense pas en fait

Je pense que dans mon erreur, il y a une part de chance.

Pour être plus précis.

Au lieu de calculer l'intégrale, j'utilise un tableaucar oui ça va un peu plus vite .

Dans celui-ci, j'ai:

si F(p) = 1/p+a ; f(t) = exp(-a*t).

du coup avec les séparation;

j'identifie [1/(p+1)] et je fais la transformé inverse avec a = 1 donc exp(-t)

[1/(p+2)] et a= 2 donc exp(-2t)

et après je faisait le produit des deux

Concrètement, c'est faux

Je viens de te dire que c'est juste, mais que tu t'es planté dans ton produit de convolution :

H(p) = F(p) . G(p) = 1/(p+1) . 1/(p+2)

Donc f(t) = exp(-t) et g(t) = exp(-2t)

Donc (l'intégrale est de 0 à x):

h(x) = (f * g)(x) = int exp(-x + t) . exp(-2t) . dt
= int exp(-x-t) . dt
= [exp(-x-t)]_{t=0}^{t=x}
= exp(-x) - exp(-2x)

Après si tu crois mieux savoir que moi, je te laisse décider

Soit dit en passant, il me semble que en faisant la transformé de Laplace de exp(-x) - exp(-2x),
je ne retombe pas sur H(p).

Ben t'as dû te planter (encore une fois). C'est absolument trivial:

h(x) = f(x) - g(x) avec :

f(x) = exp(-x) et g(x) = exp(-2x)

donc F(p) = 1/(p+1) et G(p) = 1/(p+2)

et donc:

H(p) = F(p) - G(p) = 1/(p+1) - 1/(p+2) = ( (p+2) - (p+1) ) / ((p+1)(p+2)) = 1 / (p+1)(p+2)

Ce qui est équivalent à la décomposition en élément simple (c'est normal pour une fraction rationnelle).

Oui, il est juste en fait.

Mais moi au début je dit que H(p) = F(p)*G(p) mais mon erreur c'était de dire H(p) = F(p) x G(p) si tu préfères.

Pourtant tu parlais bien du produit de convolution dans ton post... mais si maintenant t'as compris c'est l'essentiel

oui merci.

D'ailleurs, j'avait envoyé un post qui l'expliquait mais il n'a pas été envoyé

C'est pour ça que je comprenais pas pourquoi tout le monde me disait que j'avais juste

Bon finalement je suis passé par les éléments simple etC'est bien plus simplehttps://image.noelshack.com/fichiers/2020/52/6/1608985783-ahi-triangle.png

Merci tout le monde pour vos réponses.

Sur ce