Je réponds à vos questions sur les MATHEMATIQUES

Quand je vous écoute j'ai l'impression de pas avoir fait prepa.

sur quels domaines se concentre la recherche mathématiques actuellement ? quelles ont été les avancées de ces 10 dernières années ?

on entend souvent parler de la recherche en physique ou en medecine, bcp plus rarement en mathématiques

Le 26 juin 2019 à 22:16:55 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:34:04 Shankas a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:30:51 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:25:29 Shankas a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:14:20 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:01:31 Shankas a écrit :
J'ai répondu au problème suivant :
Montrer que l'équation x^4+131 = 3y^4 n'admet pas de solution si x et y sont entiers
En disant que : eq <=> 131 = 3y^4-x^4 et j'ai factorisé en (sqrt(3)y^2 - x^2)(sqrt(3)y^2 + x^2) = 131
J'ai ensuite utilisé la primalité de 131 pour montrer qu'il n'y a pas de solution
Est-ce valable ?

Pas vraiment, désolé. Un nombre entier ne peut pas se factoriser en deux nombres entiers (sauf si l'un des deux vaut 1 ou -1), mais il n'y a aucun souci à factoriser un nombre premier en deux nombres réels ! Tu peux écrire 2 = 4 * (1/2) ou 2 = (racine de 2) fois (racine de 2), par exemple !

Hm je ne suis pas sûr de comprendre

Bah racine de 3, c'est pas un nombre entier. Donc OK tu as écrit 131 comme le produit de deux nombres réels, mais ça n'a rien de problématique (puisque ce n'est pas un produit de deux nombres entiers différent de plus ou moins 1)

Aaah ouiii
Sinon en prenant l'équation (mod3) on montre que x ne peut pas être un multiple de 3 mais à part ça...

Sauf si je bugge à nouveau (ce qui n'est pas exclu ), j'ai une solution...

Réduis modulo 5.

En effet en mod5 la résolution est immédiate
a^4 + 1 = 3b^4 n'admet pas de solution pour a,b dans [[0,4]] bien ouej

Le 27 juin 2019 à 10:01:23 Motocultage a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:31:50 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:30:04 Shankas a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:11:09 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:01:31 Shankas a écrit :
PS : je suis toujours en PLS sur "Un<=C*(n+1)"

T'es en quelle classe déjà ? Tu fais quoi l'an prochain ?

Bon, voici une correction de ton exo !

Si tu as l'hypothèse pour les k<n, tu sais que u(n) est plus petit que C(n/2+1)+C(n/3+1)+C(n/6+1)=Cn/2+3C.

Si tu avais Cn/2+3C ≤ C(n+1), ce serait donc gagné.

Or cette inégalité est équivalente à n ⩾ 4. Il suffit donc de trouver un C qui fonctionne pour n = 0, 1, 2 et 3. Mais ça, c'est sûr que ça existe : il suffit de prendre C le maximum de u(0)/(0+1), u(1)/(1+1), u(2)/(2+1) et u(3)/(3+1).

La première égalité donne C(n+3) donc on peut pas chercher à montrer que C(n+3)<= C(n+1)

Ah oui, c'est sûr, j'avais 1/2+1/3+1/6 = 1/2 dans ma tête, aaya

Donc tu peux oublier tout ce que je t'ai dit sur cet exo

En fait, pour cet exo, l'idée que tu avais donnée au départ était pas mal,

Mais pour la faire marcher, il faut plutôt essayer de montrer par récurrence forte que
u(n)<=Cn pour une certaine constante C>=1, et pour tout n>=1.
On aura alors évidemment u(n)<= C(n+1) , pour tout n>=0.

En fait, en calculant u(1)=3, u(2)=5, u(3)=7, u(4)=9, u(5)=9, on voit que C=3 convient pour 1<=n<=5.
Par récurrence, pour n>=6:

u(n)=u([n/2])+u([n/3])+u([n/6])<= 3([n/2]+[n/3]+[n/6])<=3(n/2+n/3+n/6)<=3n.

(par hypothèse de récurrence, étant donné que [n/2], [n/3] et [n/6] sont tous >=1 et <n)

Au passage, on peut voir qu'une toute petite différence d'énoncé peut rendre un exo beaucoup plus difficile

Ah bah parfait, ça c'est du propre

Le 27 juin 2019 à 14:38:48 drivf a écrit :
sur quels domaines se concentre la recherche mathématiques actuellement ? quelles ont été les avancées de ces 10 dernières années ?

on entend souvent parler de la recherche en physique ou en medecine, bcp plus rarement en mathématiques

Wow... "La" recherche mathématique... c'est très vaste !

Le CNRS publie des rapports quadriennaux sur l'état de la recherche mathématique en France.

Tu trouveras par exemple ici le rapport de conjoncture de 2014 : http://cn.math.cnrs.fr/Doc/Conjoncture/conjoncture2014.pdf
et ici celui de prospective 2014 : http://cn.math.cnrs.fr/Doc/Conjoncture/prospective2014.pdf

Un des trucs qui ont fait beaucoup de bruit ces dix dernières années, c'est les perfectoïdes, qui ont valu à Scholze sa médaille Fields (la médaille Fields ultra-incontestable parmi les 4 à l'avoir reçue en 2018 ; certains auraient même voulu la lui donner en 2014).

Une brève présentation se voulant accessible des perfectoïdes :
https://images.math.cnrs.fr/Perfectoides.html

En gros, un domaine qui fascine les matheux depuis longtemps, c'est résoudre les équations à coefficients entiers. Notons a^b pour "a puissance b". Si tu te donnes une valeur de N (par exemple N=3), tu peux essayer de résoudre l'équation a^N + b^N = c^N. Si on essaie de résoudre cette équation avec a, b et c des nombres réels, il n'y a pas grand chose d'extrêmement intéressant ou difficile qui en ressorte(il y a plein de solutions, qui s'expriment facilement avec l'élévation à la puissance N et la racine N-ième). Par contre, si tu cherches des solutions qui sont des nombres entiers, là ça devient intéressant ! Pour N=1 ou 2, la situation est bien comprise de longue date, et pour N > 2, il était conjecturé qu'il n'y avait aucune solution (à part les trucs "débiles" du genre a^N + 0^N = a^N; pour N=2, y a des solutions pas débiles, comme 3² + 4² = 5²). Fermat avait annoncé ce résultat il y a plus de deux siècles, mais on est assez sûr qu'il s'est planté (on pense même savoir comment ; il devait croire qu'un certain anneau était factoriel ou je ne sais quoi alors que non). Mais cela n'a été établi qu'à la fin des années 1990, à la suite de nombreux travaux dont Andrew Wiles a posé la dernière pierre.

Ce résultat d'inexistence de solution reste vrai (pour la bonne définition de "solution débile") si au lieu de chercher des solutions qui sont des nombres entiers, on cherche des polynômes. Donc les polynômes se comportent plutôt comme les nombres entiers que comme les nombres réels, du point de vue des solutions aux équations de ce genre. Sauf que ce résultat sur les polynômes, ce n'est pas un tour de force qui demande deux siècles de labeur : la démo se fait sans peine en 15 minutes par un étudiant de master (alors qu'il n'y a que peu de théoriciens des nombres qui dominent la démonstration du théorème analogue pour les nombres entiers, le théorème de Fermat-Wiles). Donc l'idée, c'est que polynômes et entiers, même combat, sauf que les polynômes c'est facile !

Il serait donc génial, si les polynômes c'est facile, d'avoir une technique permettant de passer des résultats sur les polynômes aux résultats sur les entiers. C'est, en un sens, ce que permettent de faire (dans certains cadres etc., c'est pas une baguette magique non plus), les perfectoïdes : voir le lien ci-dessus pour plus d'informations !

La théorie des probabilités évolue pas mal en lien avec la physique théorique. Pas forcément en lien direct, mais elle y prend des inspirations.

Le site Images des mathématiques permet de faire le pont entre chercheurs et grand public. Après, ce pont ne parle pas nécessairement des "grands trucs".

Bref, question compliquée...

Le 27 juin 2019 à 19:01:06 EIBougnador a écrit :
Donc l'idée, c'est que polynômes et entiers, même combat, sauf que les polynômes c'est facile !

Si on cherche vraiment un leitmotiv simpliste à emporter chez soi, on pourrait dire que la théorie des nombres serait plus facile si on n'avait prendre en compte la retenue dans les additions, et que les perfectoïdes permettent en un sens de se ramener à ce monde paradisiaque.

Le 27 juin 2019 à 15:26:37 Shankas a écrit :

Le 26 juin 2019 à 22:16:55 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:34:04 Shankas a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:30:51 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:25:29 Shankas a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:14:20 EIBougnador a écrit :

Le 26 juin 2019 à 21:01:31 Shankas a écrit :
J'ai répondu au problème suivant :
Montrer que l'équation x^4+131 = 3y^4 n'admet pas de solution si x et y sont entiers
En disant que : eq <=> 131 = 3y^4-x^4 et j'ai factorisé en (sqrt(3)y^2 - x^2)(sqrt(3)y^2 + x^2) = 131
J'ai ensuite utilisé la primalité de 131 pour montrer qu'il n'y a pas de solution
Est-ce valable ?

Pas vraiment, désolé. Un nombre entier ne peut pas se factoriser en deux nombres entiers (sauf si l'un des deux vaut 1 ou -1), mais il n'y a aucun souci à factoriser un nombre premier en deux nombres réels ! Tu peux écrire 2 = 4 * (1/2) ou 2 = (racine de 2) fois (racine de 2), par exemple !

Hm je ne suis pas sûr de comprendre

Bah racine de 3, c'est pas un nombre entier. Donc OK tu as écrit 131 comme le produit de deux nombres réels, mais ça n'a rien de problématique (puisque ce n'est pas un produit de deux nombres entiers différent de plus ou moins 1)

Aaah ouiii
Sinon en prenant l'équation (mod3) on montre que x ne peut pas être un multiple de 3 mais à part ça...

Sauf si je bugge à nouveau (ce qui n'est pas exclu ), j'ai une solution...

Réduis modulo 5.

En effet en mod5 la résolution est immédiate
a^4 + 1 = 3b^4 n'admet pas de solution pour a,b dans [[0,4]] bien ouej

Quand tu dis pas de solution, c'est bien "pas de solution modulo 5" hein ? Si oui, c'est exactement ça

Bon, en vrai, la vidéo sur les perfectoïdes part assez vite sur des trucs compliqués (au moins pour le grand public)...

Pourquoi on appelle surmatingale le processus dont l'esperance est décroissante ?

Le 27 juin 2019 à 19:13:29 Kolitop45 a écrit :
Pourquoi on appelle surmatingale le processus dont l'esperance est décroissante ?

Si je devais deviner, je dirais que c'est parce que la valeur du processus au temps t est surévaluée si on l'estime par la valeur qu'elle devrait avoir pour une martingale (elle est plus petite que E[X(s)|F(t)] pour s>t quoi). Mais j'en sais rien, pas sûr que ce soit convaincant de ouf

Le 27 juin 2019 à 19:21:08 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:13:29 Kolitop45 a écrit :
Pourquoi on appelle surmatingale le processus dont l'esperance est décroissante ?

Si je devais deviner, je dirais que c'est parce que la valeur du processus au temps t est surévaluée si on l'estime par la valeur qu'elle devrait avoir pour une martingale (elle est plus petite que E[X(s)|F(t)] pour s>t quoi). Mais j'en sais rien, pas sûr que ce soit convaincant de ouf

Justement, par rapport à une martingale, elle a une espérance plus faible, son nom devrait être sous martingale, je demanderai à mon prof à la rentrée alors

Wow devenir chercheur en maths ça m'intéresse grandement mais en quoi ça consiste, vous faites quoi et comment ?
Moi je vous vois debout devant un tableau à réfléchir mais c'est plus que ça j'imagine

Le 27 juin 2019 à 19:24:38 Kolitop45 a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:21:08 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:13:29 Kolitop45 a écrit :
Pourquoi on appelle surmatingale le processus dont l'esperance est décroissante ?

Si je devais deviner, je dirais que c'est parce que la valeur du processus au temps t est surévaluée si on l'estime par la valeur qu'elle devrait avoir pour une martingale (elle est plus petite que E[X(s)|F(t)] pour s>t quoi). Mais j'en sais rien, pas sûr que ce soit convaincant de ouf

Justement, par rapport à une martingale, elle a une espérance plus faible, son nom devrait être sous martingale, je demanderai à mon prof à la rentrée alors

Euh, oui, j'ai dit les choses dans l'autre sens. Du coup, j'aurais dû dire (mais du coup on voit que l'argument est à géométrie variable, ajusté à la tête du client) : une surmartingale, c'est un processus où la valeur au temps t est au-dessus de ce qu'elle devrait être pour une martingale (la formule d'espérance conditionnelle).

Et puisque c'est la formule qui est dans l'espérance conditionnelle qui fait intervenir le futur, quand on prend l'espérance, ça donne bien la décroissance (sanity check pour vérifier que je me suis pas retrompé de sens).

Le 27 juin 2019 à 19:26:03 iDashAndYouDie0 a écrit :
Wow devenir chercheur en maths ça m'intéresse grandement mais en quoi ça consiste, vous faites quoi et comment ?
Moi je vous vois debout devant un tableau à réfléchir mais c'est plus que ça j'imagine

Bah, tu lis des articles pour apprendre des techniques, tu enseignes, tu assistes de temps à autre à des exposés dans ton université ou des confs ailleurs, tu relis des articles pour des journaux (vérifier que les démos sont correctes et que les résultats sont suffisamment "intéressants" pour le "standing" du journal), tu rédiges des articles, etc.

Tu discutes avec tes collaborateurs. Tu réfléchis. Sur papier ou au tableau, ou en marchant, ou au milieu de la nuit. Aux moments où tu le sens bien. Tu testes plein de pistes, la plupart marche pas. Et parfois, une idée semble moins conne que les autres, alors tu la creuses, tu fais des calculs, des démos, etc.

C'est à peu près l'idée.

Le 27 juin 2019 à 19:36:04 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:26:03 iDashAndYouDie0 a écrit :
Wow devenir chercheur en maths ça m'intéresse grandement mais en quoi ça consiste, vous faites quoi et comment ?
Moi je vous vois debout devant un tableau à réfléchir mais c'est plus que ça j'imagine

Bah, tu lis des articles pour apprendre des techniques, tu enseignes, tu assistes de temps à autre à des exposés dans ton université ou des confs ailleurs, tu relis des articles pour des journaux (vérifier que les démos sont correctes et que les résultats sont suffisamment "intéressants" pour le "standing" du journal), tu rédiges des articles, etc.

Tu discutes avec tes collaborateurs. Tu réfléchis. Sur papier ou au tableau, ou en marchant, ou au milieu de la nuit. Aux moments où tu le sens bien. Tu testes plein de pistes, la plupart marche pas. Et parfois, une idée semble moins conne que les autres, alors tu la creuses, tu fais des calculs, des démos, etc.

C'est à peu près l'idée.

Merci pour ta réponse
Et tu choisis où tu bosse ?
T'es assez bien payé?
Tu bosse combien d'heures par semaine ? C'est variable ?

Le 27 juin 2019 à 19:30:43 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:24:38 Kolitop45 a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:21:08 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:13:29 Kolitop45 a écrit :
Pourquoi on appelle surmatingale le processus dont l'esperance est décroissante ?

Si je devais deviner, je dirais que c'est parce que la valeur du processus au temps t est surévaluée si on l'estime par la valeur qu'elle devrait avoir pour une martingale (elle est plus petite que E[X(s)|F(t)] pour s>t quoi). Mais j'en sais rien, pas sûr que ce soit convaincant de ouf

Justement, par rapport à une martingale, elle a une espérance plus faible, son nom devrait être sous martingale, je demanderai à mon prof à la rentrée alors

Euh, oui, j'ai dit les choses dans l'autre sens. Du coup, j'aurais dû dire (mais du coup on voit que l'argument est à géométrie variable, ajusté à la tête du client) : une surmartingale, c'est un processus où la valeur au temps t est au-dessus de ce qu'elle devrait être pour une martingale (la formule d'espérance conditionnelle).

Et puisque c'est la formule qui est dans l'espérance conditionnelle qui fait intervenir le futur, quand on prend l'espérance, ça donne bien la décroissance (sanity check pour vérifier que je me suis pas retrompé de sens).

C'est ce que j'ai souligné en rouge qui est une surmartingale :

https://image.noelshack.com/fichiers/2019/26/4/1561657208-screenshot-20190627-193928-google-pdf-viewer.jpg

il y a du taf pour un master en statistiques ? je sors de L3 math la

Le 27 juin 2019 à 19:40:15 Kolitop45 a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:30:43 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:24:38 Kolitop45 a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:21:08 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:13:29 Kolitop45 a écrit :
Pourquoi on appelle surmatingale le processus dont l'esperance est décroissante ?

Si je devais deviner, je dirais que c'est parce que la valeur du processus au temps t est surévaluée si on l'estime par la valeur qu'elle devrait avoir pour une martingale (elle est plus petite que E[X(s)|F(t)] pour s>t quoi). Mais j'en sais rien, pas sûr que ce soit convaincant de ouf

Justement, par rapport à une martingale, elle a une espérance plus faible, son nom devrait être sous martingale, je demanderai à mon prof à la rentrée alors

Euh, oui, j'ai dit les choses dans l'autre sens. Du coup, j'aurais dû dire (mais du coup on voit que l'argument est à géométrie variable, ajusté à la tête du client) : une surmartingale, c'est un processus où la valeur au temps t est au-dessus de ce qu'elle devrait être pour une martingale (la formule d'espérance conditionnelle).

Et puisque c'est la formule qui est dans l'espérance conditionnelle qui fait intervenir le futur, quand on prend l'espérance, ça donne bien la décroissance (sanity check pour vérifier que je me suis pas retrompé de sens).

C'est ce que j'ai souligné en rouge qui est une surmartingale :

https://image.noelshack.com/fichiers/2019/26/4/1561657208-screenshot-20190627-193928-google-pdf-viewer.jpg

Oui, du coup, c'est bien X_n supérieur à "la formule qui donnerait lieu à une martingale". En un sens, c'est naturel. Si y a un truc qui doit être supérieur à autre chose quand on est un surquelquechose, c'est naturel que ce soit la valeur réelle du processus, et non la formule à laquelle on la compare (et peu importe que ce soit la formule qui porte sur l'instant futur).

Mais c'est toujours les mêmes problèmes : A > B est-il une majoration ou une minoration ? Ca dépend de si on s'intéresse à A ou B... Quand on scrolle "vers le bas", veut-on que le document défile vers le haut ou vers le bas ? Ca dépend de si on pense que le scrolle abaisse le document ou abaisse l'oeil de l'observateur (donc remonte le document)...

Le 27 juin 2019 à 19:39:47 iDashAndYouDie0 a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:36:04 EIBougnador a écrit :

Le 27 juin 2019 à 19:26:03 iDashAndYouDie0 a écrit :
Wow devenir chercheur en maths ça m'intéresse grandement mais en quoi ça consiste, vous faites quoi et comment ?
Moi je vous vois debout devant un tableau à réfléchir mais c'est plus que ça j'imagine

Bah, tu lis des articles pour apprendre des techniques, tu enseignes, tu assistes de temps à autre à des exposés dans ton université ou des confs ailleurs, tu relis des articles pour des journaux (vérifier que les démos sont correctes et que les résultats sont suffisamment "intéressants" pour le "standing" du journal), tu rédiges des articles, etc.

Tu discutes avec tes collaborateurs. Tu réfléchis. Sur papier ou au tableau, ou en marchant, ou au milieu de la nuit. Aux moments où tu le sens bien. Tu testes plein de pistes, la plupart marche pas. Et parfois, une idée semble moins conne que les autres, alors tu la creuses, tu fais des calculs, des démos, etc.

C'est à peu près l'idée.

Merci pour ta réponse
Et tu choisis où tu bosse ?
T'es assez bien payé?
Tu bosse combien d'heures par semaine ? C'est variable ?

https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1013634797
https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1013634965

Autour de 2000, 2100 pour un maître de conférence en début de carrière

Le 27 juin 2019 à 19:41:33 _F_R_A_G__O__H a écrit :
il y a du taf pour un master en statistiques ? je sors de L3 math la

Tu veux dire "est-ce que ça débouche côté emploi ?" ou "est-ce qu'il faut taffer pour gérer son master ?".

Dans le premier cas, je dirais oui ; dans le second cas, j'imagine que oui...