Je réponds à vos questions sur les MATHEMATIQUES

Le 23 juin 2019 à 22:29:08 Kaitsuke a écrit :
J'ai une question. Tu peux m'expliquer simplement c'est quoi une variété ? J'ai fait une prépa caca et j'suis dans une école d'ingé pas fofolle.

Une variété en dimension 1, c'est une courbe, en dimension 2, c'est une surface, etc.

Si tu as un cercle classique dessiné quelque part dans l'espace et que tu ne sors jamais de la courbe, tu ne verras pas la différence avec une cordelette qui ferait un noeud avant de se refermer sur elle-même : dans les deux cas, juste, tu avances, tu découvres de la nouvelle portion de cordelette jusqu'à revenir sur tes pas et là t'as découvert tout l'univers.

Si tu t'intéresses à comment tu es réalisé dans l'espace de dimension plus grande, c'est la notion de sous-variété qui est pertinente.

La notion de variété peut même être définie sans faire la moindre référence à un "monde plus grand qui l'englobe". Par exemple, si tu prends la droite et que tu dis "ah ah, j'ajoute un point à l'infini qui relie les deux extrémités de la droite", tu définis le cercle sans jamais avoir inventé le plan(osef les puristes qui diront que je n'ai défini qu'une topologie et pas une variété, là : on peut se démerder et le but est de faire piger des trucs ; en vrai, j'attaque pas les puristes là, je me dédouane juste vis-à-vis de ma propre conscience ). Si tu regardes le film "Dimensions" de Alvarez-Ghys-Leys, tu te feras une bonne intuition de choses proches des variétés.

Après, il s'avère que toute variété peut être réalisée dans un espace vectoriel d'assez grande dimension, donc sous-variétés et variétés sont en gros les mêmes objets, mais avec deux points de vue différents : les variétés s'attachent à voir l'objet "de l'intérieur", de façon intrinsèque.

Enfin, on peut dire qu'une variété, c'est un objet patatoïdal sur lequel on peut faire du calcul différentiel. Patatoïdal, ça ne veut rien dire bien sûr : je veux juste dire que ce n'est pas un espace vectoriel ou je ne sais quoi : ça peut être une bouée, une sphère, etc.

En fait, une variété, c'est un objet qui, au voisinage de chaque point, "ressemble" à une portion d'espace vectoriel(sauf qu'il faut dire ce que signifie "ressembler" : et là, ça veut dire "est difféomorphe à" ; ça veut juste dire qu'on n'est pas obligés d'avoir un système de coordonnées qui se comporte exactement comme les coordonnées cartésiennes ; il faut juste que le changement de coordonnées entre monde vectoriel et "petit bout de la variété" se fasse via une bijection qui est différentiable dans les deux sens (elle est différentiable et sa réciproque aussi)).

Le graphe d'une fonction différentiable, c'est un exemple de sous-variété. L'ensemble des zéros d'une fonction différentiable "sympatoche", pareil ! Et localement, c'est une équivalence : si on prend un sous-variété et un point dans la sous-variété, et qu'on regarde suffisamment près autour de ce point, ce qu'on verra pourra s'exprimer comme le lieu des zéros d'une fonction sympatoche, et pourra se voir comme le graphe d'une fonction différentiable (quitte à tourner le graphe dans le bon sens pour éviter des couilles du genre "si je regarde le cercle de centre 0 et de rayon 1 autour du point le plus à droite, c'est mort" ; dans ce cas, il faut "tourner la tête" pour se dire "ah bah non, ça a bien une gueule de graphe de fonction sympa en fait").

Le 23 juin 2019 à 22:26:18 EIBougnador a écrit :

Le 23 juin 2019 à 21:28:59 Cactus-evian a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:42:22 EIBougnador a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:33:13 Cactus-evian a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:31:24 EIBougnador a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:27:56 Cactus-evian a écrit :
J'ai arrêté les maths en 2nde, maintenant je veux reprendre
Quel livre acheter ou quel PDF pour tout reprendre depuis la 2nde ?
Merci khey

Je suis navré, je ne saurais pas te dire beaucoup mieux que d'essayer de choper de bons livres de cours de lycée (et je ne connais pas ces livres, donc je saurais même pas te conseiller ).

En tout cas, pour reprendre et maîtriser, il faut faire des exercices et tout, c'est sûr. Acquérir une maîtrise de quelque chose, c'est pas pareil (et j'ai l'impression que tu le sais) que de mater de la vulgarisation (qui est plus là pour engendrer de la curiosité, de l'intérêt, et développer une vision mais une vision non-issue de ta propre maîtrise...).

Oui, la vulgarisation c'est marrant mais pour vraiment maîtriser il faut que j'ai un vrai manuel
Tu penses que c'est chaud de réapprendre tout de la 2nde jusqu'à la terminale ?

Après, je verrai si j'ai toujours autant envie d'explorer les sciences.

Tu fais quoi d'ailleurs dans les maths ? Fac ?

Recherche en maths à la fac.

A part ça, ça me paraît carrément jouable de ré-apprendre les choses jusqu'à la terminale !

Après, je dirais que c'est à partir de la L1 que tu ressens vraiment la saveur des maths telles que la perçoive les matheux. Bref, se faire un avis un peu définitif avant le bac sur les mathématiques, c'est assez hasardeux ; après une L1, c'est assez informé.

Comment en es-tu arrivé à vouloir ré-apprendre des maths ?

A la base je suis littéraire. Par plaisir, pas car j'avais du mal en maths. Mais en gros en 2nde je me suis dit : les maths c'est aride, la littérature c'est cool, c'est la psyche humaine, etc. Finalement, j'ai réalisé que je préférais les sciences humaines comme l'histoire ou la géo, car ça permettait de mieux "comprendre". De là, j'ai encore dérivé vers les sciences sociales qui me satisfaisaient + dans ma volonté de comprendre le monde qui m'entoure et les gens.
Et grosso modo cette année j'essayais de penser un "modèle" pour expliquer le comportement des gens. Et je n'étais jamais satisfait, car les gens ont des comportements assez semblables, mais qui se manifestent de façon différente.
Par hasard, j'ai fait un court stage de programmation, dans lequel j'ai du utiliser des variables.
Et j'ai capté que c'était le concept qui me fallait pour mieux comprendre le comportement des gens.
De fil en aiguille, je me suis rendu compte que ce que je cherchais à faire avec les sciences humaines, c'est arriver à une explication rationnelle parfaite du comportement des gens, malgré les différences dans leur comportement. Et je me suis rendu compte que le meilleur moyen, pour ça, c'est une formule mathématique avec des variables (le fameux X de mon enfance).

Bref du coup maintenant je me dis que les maths peuvent m'aider à mieux théoriser les choses, que ce soit en philo ou en sciences sociales. Les formules mathématiques sont le moyen le plus précis pour expliquer les choses. Du coup j'aimerais en étudier les méthodes et les concepts, car je suis sûr que ça me permettrait de mieux expliquer les sciences sociales et la philo

Sorry pour le pavay

Bah cool ! La théorie des jeux pourrait t'intéresser, notamment. En fait, les séries de vidéos de Science4All sur la démocratie et le bayésianisme (et autres) pourraient bien t'intéresser, je pense. Et MrPhi aussi, peut-être (je le connais beaucoup moins ce lascar).

Après, il faut juste éviter de tomber dans le "puisqu'ils fournissent un cadre mathématisé, ils ont raison". Chaque postulat de départ, chaque façon de modéliser correspond à des hypothèses tacites, à une certaine façon de concevoir le monde et les gens a priori. Je pense qu'il est sain d'accueillir leurs édifices théoriques comme des constructions qui vont loin dans l'approfondissement d'un sujet, mais il ne faut pas déduire de cette profondeur de la véracité (ni le fait que c'est faux d'ailleurs).

En gros, j'apprécie vachement le travail de Science4All, mais faut faire gaffe au fait qu'il a certaines fortes convictions (bayésianisme, utilitarisme...), et que le fait qu'il sache élaborer longeuement mathématiquement sur ces convictions n'implique pas qu'elles sont nécessairement valides : seulement qu'il est capable de former un discours profond et cohérent. Mais des mondes profonds et cohérents, il y en a plein : bien des mondes fictifs sont profonds et cohérents, sans être le vrai monde pour autant !

Bref, j'encourage à écouter ce discours et à en dégager toutes les hypothèses même ultra-planquées (l'acte de vouloir mathématiser les choses et d'employer la logique peut lui-même être vu comme une hypothèse, potentiellement), en fouinant minutieusement tout ce qui paraît potentiellement discutable. Ensuite, la leçon que tu en tires, c'est que dès lors que ces hypothèses sont valides, les choses se passent comme telle théorie te l'enseigne. Ca ne t'enseigne pas plus que cela, ni moins.

En gros, les vidéos de Science4All relève souvent à la fois de maths et de philosophie et de politique (et ce parfois de manière lointaine ou non-explicite) : or si les bons mathématiciens ont tendance à tomber d'accord sur ce qui est vrai, ce n'est pas le cas en philosophie et en politique. Et ce n'est pas ramener des maths qui va magiquement dissiper tous les doutes, car si les maths sont bonnes pour déduire les conséquences cachées de postulats données, elles sont de bases impuissantes à fournir les postulats de départ... On pourrait épiloguer des heures sur ce simple paragraphe, mais j'essaie de dégager une impression générale...

Merci khey ! Je vais regarder tout ça
Oui, le fait de mettre des mathématiques ne rend pas la chose vraie directement, ça reste une hypothèse ; mais pour avoir bcp étudié la philo, malheureusement il manque une rigueur scientifique qui à mon sens est nécessaire quand on prétend atteindre une forme de "vérité", du moins quand on prétend progresser vers elle ! Et l'avantage des maths, de leur rigueur et de leur logique, c'est qu'on atteint une formule précise, un vrai argument. Alors que parfois maintenant, la philo n'est qu'un vague bullshit ornementé de mots stylés

Le 23 juin 2019 à 23:08:56 Cactus-evian a écrit :

Le 23 juin 2019 à 22:26:18 EIBougnador a écrit :

Le 23 juin 2019 à 21:28:59 Cactus-evian a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:42:22 EIBougnador a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:33:13 Cactus-evian a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:31:24 EIBougnador a écrit :

Le 23 juin 2019 à 19:27:56 Cactus-evian a écrit :
J'ai arrêté les maths en 2nde, maintenant je veux reprendre
Quel livre acheter ou quel PDF pour tout reprendre depuis la 2nde ?
Merci khey

Je suis navré, je ne saurais pas te dire beaucoup mieux que d'essayer de choper de bons livres de cours de lycée (et je ne connais pas ces livres, donc je saurais même pas te conseiller ).

En tout cas, pour reprendre et maîtriser, il faut faire des exercices et tout, c'est sûr. Acquérir une maîtrise de quelque chose, c'est pas pareil (et j'ai l'impression que tu le sais) que de mater de la vulgarisation (qui est plus là pour engendrer de la curiosité, de l'intérêt, et développer une vision mais une vision non-issue de ta propre maîtrise...).

Oui, la vulgarisation c'est marrant mais pour vraiment maîtriser il faut que j'ai un vrai manuel
Tu penses que c'est chaud de réapprendre tout de la 2nde jusqu'à la terminale ?

Après, je verrai si j'ai toujours autant envie d'explorer les sciences.

Tu fais quoi d'ailleurs dans les maths ? Fac ?

Recherche en maths à la fac.

A part ça, ça me paraît carrément jouable de ré-apprendre les choses jusqu'à la terminale !

Après, je dirais que c'est à partir de la L1 que tu ressens vraiment la saveur des maths telles que la perçoive les matheux. Bref, se faire un avis un peu définitif avant le bac sur les mathématiques, c'est assez hasardeux ; après une L1, c'est assez informé.

Comment en es-tu arrivé à vouloir ré-apprendre des maths ?

A la base je suis littéraire. Par plaisir, pas car j'avais du mal en maths. Mais en gros en 2nde je me suis dit : les maths c'est aride, la littérature c'est cool, c'est la psyche humaine, etc. Finalement, j'ai réalisé que je préférais les sciences humaines comme l'histoire ou la géo, car ça permettait de mieux "comprendre". De là, j'ai encore dérivé vers les sciences sociales qui me satisfaisaient + dans ma volonté de comprendre le monde qui m'entoure et les gens.
Et grosso modo cette année j'essayais de penser un "modèle" pour expliquer le comportement des gens. Et je n'étais jamais satisfait, car les gens ont des comportements assez semblables, mais qui se manifestent de façon différente.
Par hasard, j'ai fait un court stage de programmation, dans lequel j'ai du utiliser des variables.
Et j'ai capté que c'était le concept qui me fallait pour mieux comprendre le comportement des gens.
De fil en aiguille, je me suis rendu compte que ce que je cherchais à faire avec les sciences humaines, c'est arriver à une explication rationnelle parfaite du comportement des gens, malgré les différences dans leur comportement. Et je me suis rendu compte que le meilleur moyen, pour ça, c'est une formule mathématique avec des variables (le fameux X de mon enfance).

Bref du coup maintenant je me dis que les maths peuvent m'aider à mieux théoriser les choses, que ce soit en philo ou en sciences sociales. Les formules mathématiques sont le moyen le plus précis pour expliquer les choses. Du coup j'aimerais en étudier les méthodes et les concepts, car je suis sûr que ça me permettrait de mieux expliquer les sciences sociales et la philo

Sorry pour le pavay

Bah cool ! La théorie des jeux pourrait t'intéresser, notamment. En fait, les séries de vidéos de Science4All sur la démocratie et le bayésianisme (et autres) pourraient bien t'intéresser, je pense. Et MrPhi aussi, peut-être (je le connais beaucoup moins ce lascar).

Après, il faut juste éviter de tomber dans le "puisqu'ils fournissent un cadre mathématisé, ils ont raison". Chaque postulat de départ, chaque façon de modéliser correspond à des hypothèses tacites, à une certaine façon de concevoir le monde et les gens a priori. Je pense qu'il est sain d'accueillir leurs édifices théoriques comme des constructions qui vont loin dans l'approfondissement d'un sujet, mais il ne faut pas déduire de cette profondeur de la véracité (ni le fait que c'est faux d'ailleurs).

En gros, j'apprécie vachement le travail de Science4All, mais faut faire gaffe au fait qu'il a certaines fortes convictions (bayésianisme, utilitarisme...), et que le fait qu'il sache élaborer longeuement mathématiquement sur ces convictions n'implique pas qu'elles sont nécessairement valides : seulement qu'il est capable de former un discours profond et cohérent. Mais des mondes profonds et cohérents, il y en a plein : bien des mondes fictifs sont profonds et cohérents, sans être le vrai monde pour autant !

Bref, j'encourage à écouter ce discours et à en dégager toutes les hypothèses même ultra-planquées (l'acte de vouloir mathématiser les choses et d'employer la logique peut lui-même être vu comme une hypothèse, potentiellement), en fouinant minutieusement tout ce qui paraît potentiellement discutable. Ensuite, la leçon que tu en tires, c'est que dès lors que ces hypothèses sont valides, les choses se passent comme telle théorie te l'enseigne. Ca ne t'enseigne pas plus que cela, ni moins.

En gros, les vidéos de Science4All relève souvent à la fois de maths et de philosophie et de politique (et ce parfois de manière lointaine ou non-explicite) : or si les bons mathématiciens ont tendance à tomber d'accord sur ce qui est vrai, ce n'est pas le cas en philosophie et en politique. Et ce n'est pas ramener des maths qui va magiquement dissiper tous les doutes, car si les maths sont bonnes pour déduire les conséquences cachées de postulats données, elles sont de bases impuissantes à fournir les postulats de départ... On pourrait épiloguer des heures sur ce simple paragraphe, mais j'essaie de dégager une impression générale...

Merci khey ! Je vais regarder tout ça
Oui, le fait de mettre des mathématiques ne rend pas la chose vraie directement, ça reste une hypothèse ; mais pour avoir bcp étudié la philo, malheureusement il manque une rigueur scientifique qui à mon sens est nécessaire quand on prétend atteindre une forme de "vérité", du moins quand on prétend progresser vers elle ! Et l'avantage des maths, de leur rigueur et de leur logique, c'est qu'on atteint une formule précise, un vrai argument. Alors que parfois maintenant, la philo n'est qu'un vague bullshit ornementé de mots stylés

Alain Badiou est un philosophe reconnu qui emploie les maths de façon qui ne laisse pas tout le monde indifférent.

Bricmont et Sokal le trashent dans Imposture intellectuelle. D'autres personnes y trouvent quelque chose d'intéressant. Je ne connais pas, mais j'ai cru comprendre que le bon degré de lecture c'est "il prend le matériau mathématique comme ferment pour imaginer efficacement ; il ne fait pas dire aux maths ce qu'elles disent, il va au-delà de ce qu'elles disent effectivement et mouille sa chemise en extrapolant philosophiquement". Il paraît que ses écrits anciens tels que L'Être et l’Événement sont bien plus puissants et fiables (quoi que cela signifie en philosophie) que ses choses plus récentes.

Niveau philosophie proche des sciences, tu pourrais être intéressé par Bouveresse et Vuillemin.

Et bien sûr, il y a Spinoza avec sa rédaction en mode définition/proposition/théorème/etc. Russell, Wittgenstein... Poincaré aussi, en un sens (mais plus à faire de la philo sur le rôle des sciences qu'à essayer de scientiser la philo). La Science et l'hypothèse est une excellente lecture.

Au-delà des formules, les maths sont capables de donner un sens rigoureux et inambigu à des propriétés non pas quantitatives mais qualitatives ! Ce qui est cool aussi.

Enfin, on peut se poser des questions philosophiques sur les maths, typiquement "les objets mathématiques existent-ils ?", question qui porte fortement sur l'acception qu'on décide de donner aux termes "objet" et "exister". C'est la question de l'ontologie des mathématiques, et l'ouvrage Introduction à la philosophie des mathématiques : le problème de Platon y est dédié.

Aussi, à un niveau élevé, il y a des cercles où philosophie et mathématiques s'entremêlent. Par exemple avec les "lectures grothendieckiennes", disponibles sur youtube.

Merci énormément, c'était très clair.
Je me suis beaucoup reconnue sur certains points, bon, je ne peux pas prendre le temps de répondre pour l'instant j'ai une épreuve demain. Néanmoins, je vais y réfléchir un moment et si j'ai d'autres questions je te les poserai.

Merci !

Le 23 juin 2019 à 23:25:06 Keylah a écrit :
Merci énormément, c'était très clair.
Je me suis beaucoup reconnue sur certains points, bon, je ne peux pas prendre le temps de répondre pour l'instant j'ai une épreuve demain. Néanmoins, je vais y réfléchir un moment et si j'ai d'autres questions je te les poserai.

Merci !

Bon courage pour demain

Le 23 juin 2019 à 22:33:20 albert74 a écrit :

Le 23 juin 2019 à 22:28:38 EIBougnador a écrit :

Le 23 juin 2019 à 22:09:56 albert74 a écrit :
soit t réel strict positif
mq Gamma(1/2+it)=O(exp(-dt)) (grand O, notation de Landau) lorsque t-->+oo avec d à déterminer, et Gamma la fonction gamma d'euler

Tu demandes parce que tu sais pas faire et que tu voudrais savoir ou tu demandes pour voir si moi je sais faire ?

parce que je sais pas faire

Ca me saute pas aux yeux. C'est lié à l'hypothèse de Riemann ?

Le 23 juin 2019 à 23:25:06 Keylah a écrit :
[...]

Tu avais posé la question de taffer les maths hors-système. C'est plus facile de le faire quand une communauté se lance, que seule dans son coin. Il paraît que MeetUp se prête bien à l'organisation de rencontre de ce type. On s'en rend compte sur JVC par exemple : il y a pas mal de monde qui est hors du système de maths mais qui est très fortement intrigué par les maths. Ca serait pas mal de faire des rencontres de temps à autres entre étudiants et hors-systèmes pour échanger à ce sujet. Les étudiants, ça les force à une démarche réflexive sur le savoir qu'il exerce quotidiennement, à envisager des points de vue alternatifs ; et les extérieurs, ça leur fait une main tendue pour essayer d'acquérir une certaine maîtrise, un certain état d'esprit. Une espèce d'université populaire. Vous pouvez lancer ça dans vos villes si vous êtes chauds. Ca peut être via n'importe quel site web ou réseau social ; ça peut même être des IRL jvc.

Eventuellement avec des enseignants/chercheurs...

J'ai l'impression qu'il y a pas mal de monde qui a besoin de ça, qui a besoin de monde : si ceux qui désirent cela le faisaient savoir, probablement que les créneaux se rempliraient aisément et que les personnes concernées seraient plus satisfaites...

Le 23 juin 2019 à 23:25:06 Keylah a écrit :
[...]

J'avais promis quelques liens de maths/physique : les voici. Bien sûr, j'en donne trop. Comme ça, vous avez une bonne bibliothèque dans laquelle piocher à votre guise.

Le film Dimensions d'Alvarez-Ghys-Leys : excellent et grand public. Pour essayer de visualiser en dimension 4. Mais on apprend plein de choses sympas (dont un état d'esprit, un rapport aux maths). Leur film Chaos est aussi excellent.

3Blue1Brown : Excellente vulgarisation de maths. En anglais. Probablement un peu costaud !

Science4All : Très bonne vulgarisation. Essaie d'avoir une vision globale des choses (place dans la société, etc.). Juste quelques réserves sur le fait que ce mec a des convictions qui sont siennes et qu'il ne faut pas tamponner d'un "c'est un matheux qui le dit donc il a raison", voir ici :
https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1013278781

Feynman himself (chercheur + pédagogue incroyable) :

ScienceEtonnante : Excellente vulgarisation compréhensible !

Excellent cours de physique (Feynman) : http://www.feynmanlectures.caltech.edu/

Le poly LLG (from terminale S to MPSI) : Là, ce n'est plus un trip de vulgarisation : c'est un trip de te rendre toi-même effectivement plus capable.
http://louislegrand.org/images/stories/documents/EXOS-TERMINALE.pdf

En cheminant avec Kakeya : cours vivant/pédagogique de maths guidé par un problème de recherche et une approche historique.

Udiprod : excellente vulgarisation en anglais.

Excellente vulgarisation en mode "ce n'est pas un exposé, c'est un show", par Tokieda :

Mathematik Park, Soirées Mathématiques de Lyon : Conférences de vulgarisation théoriquement destinées à des élèves de début de L1.

Conseils pour étudier les mathématiques :

Le site Images des mathématiques : site qui fait le pont entre la recherche en maths et le grand public.

Après, si le but est vraiment d'acquérir des maths, y a pas de secret, il faut se taper un cours, en assimiler les définitions, les démonstrations, faire masse d'exercices, etc. Pour acquérir les bases qui te rendent mathématiquement autonomes, la voie conformiste est probablement plus efficace que les trucs alternatifs. Mieux vaut chercher un excellent cours qui couvre les bases qu'un cours "original". Et après, faut le bosser :
https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1012847389
https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1012852685

Après, désolé, je suis pas (à ce jour) bon en références pour le niveau L1...

Merci khey !

J'enchaîne alors sur la question : c'est quoi une topologie ? Ta manière d'expliquer est épique.

Super topic, merci l'op pour toutes ces références.
Ta méthode de travail quand tu étais en prepa et ENS ?

Salut khey
Tu penses qu'il faut combien de temps pour rattraper son retard de 1ere-Terminale S?
Je suis en L1 (que j'ai raté) parce que j'ai trop de lacunes en maths
J'étais le genre de mec à réviser la veille au lycée, maintenant je me fais baiser parce que je connais pas les dérivées, comment mettre au même dénominateur et les autres astuces de calculs

D'ailleurs tu connais un bon livre/site pour connaître toutes les bases ?

Le 24 juin 2019 à 08:45:12 Kaitsuke a écrit :
Merci khey !

J'enchaîne alors sur la question : c'est quoi une topologie ? Ta manière d'expliquer est épique.

Ah bah c'est gentil, ça, le commentaire épique !

Alors, qu'est-ce qu'une topologie ? Une topologie, c'est une structure que tu peux foutre sur un ensemble. Quand tu fais ça, ce n'est plus qu'un simple ensemble, non môsieur, c'est un espace topologique.https://image.noelshack.com/fichiers/2018/40/6/1538838486-ekrivinmonoclepipe.png

Oui, mais j'ai toujours rien dit là...https://image.noelshack.com/fichiers/2018/27/4/1530827992-jesusreup.png

Une topologie, c'est ce qui permet de formaliser la notion de ressemblance de façon qualitative. Un cas particulier de ressemblance, c'est la ressemblance géographique, à savoir la notion de proximité en termes de distance... Sauf que comme on regarde les choses qualitativement (et non plus quantitativement), on ne peut plus dire "Alice est à 32 km de distance de Bob" : si on veut visualiser les espaces topologiques en pensant "ressemblance" comme "proximité géographique", il faut penser qu'un espace topologique est fait en pâte à modeler, ou dans un matériau qu'on peut étirer et contracter ; un cercle parfait est considéré comme "le même espace topologique" qu'une ellipse ou que n'importe quelle courbe du plan qui se referme sur elle-même.

En gros, avec les mains, une topologie permet de répondre à la question suivante (et à aucune autre) : "est-ce que tel point est infiniment proche de tel autre point ?". Bon, sauf qu'en vrai, ça ne veut à peu près rien dire cette question, donc c'est plutôt à la question suivante que la topologie répond : "est-ce que tel point est infiniment proche de tel ensemble ?".

En "attachant les points de notre ensemble de point infiniment proches en infiniment proches", on finit par "les faire tenir ensemble", à avoir notre espace en pâte à modeler !

Les espaces topologiques sont omniprésents en mathématiques. Omniprésents et de définition élémentaire, ils sont un peu comme les groupes finalement ! Les topologies incarnent la notion de ressemblance qualitative, les groupes la notion de symétrie d'un objet. Il paraît que les topoï (pluriel de topos), des objets compliqués issus de la géométrie algébrique, sont ultra-classes et peuvent notamment être vus comme une généralisation commune et des groupes et des espaces topologiques !

Les relations d'équivalence servent à dire quand deux points veulent être considérés comme égaux. Les axiomes des relations d'équivalence peuvent être mis en parallèle avec ceux des espaces métriques et ceux des groupes. D'ailleurs, quand un groupe agit sur un ensemble, on peut en déduire une relation d'équivalence, à savoir "être dans la même orbite". Une relation d'équivalence, c'est la même donnée qu'un espace métrique où deux points distincts peuvent être à distance nulle (on parle de pseudodistance) et où la distance ne prend que les valeurs 0 et 1 (ou 0 et infini, si tu préfères, auquel cas tu peux vraiment voir les espaces (pseudo-)métriques comme des variantes floues/nuancées de la notion de relation d'équivalence). Un espace topologique, c'est une variante floue de la notion de relation d'équivalence, mais qualitative au lieu de quantitative.

Dans mon prochain post, j'expliquerai un point de vue que je trouve très éclairant sur la notion de topologie !

Le 24 juin 2019 à 08:45:12 Kaitsuke a écrit :
Merci khey !

J'enchaîne alors sur la question : c'est quoi une topologie ? Ta manière d'expliquer est épique.

J'aime beaucoup le point de vue suivant sur la topologie. Imagine que tu as un ensemble de trucs possibles. Avec tes 5 sens, tes outils de mesure, tout ça, tu peux distinguer des choses. Soit ! C'est pas pour autant que tu es capable de tester toutes les propriétés imaginables; tes outils de mesure peuvent être imparfaits, tu peux galérer à mesurer une masse avec une précision meilleure que 0,1 gramme par exemple. Là, on va s'intéresser aux propriétés confirmables. On dira qu'une propriété est confirmable si, à chaque fois qu'elle est vraie, il y a une mesure judicieuse qui te permettrait de t'en assurer (genre si Dieu te donne une indication sur quel outil placé à quel endroit, tu peux faire la mesure et t'assurer par toi même que la propriété a lieu : Dieu ne fait que te dire quelle manip effectuer ; ensuite, tu tires ta certitude du fait que la mesure prouve que la propriété a lieu, non de te confiance en Dieu). C'est intéressant de savoir quelles sont les propriétés confirmables.

Eh bien, essayons d'axiomatiser ces propriétés. Clairement, les propriétés triviales "toujours vrai" et "toujours faux" sont confirmables. Pour "vrai", pas besoin de mesurer le truc qu'on te donne pour vérifier que le résultat sera vrai. Quant à "faux", c'est encore pire : il n'y a aucune situation où elle est vraie, donc personne ne nous demandera jamais la moindre confirmation ! Notez qu'on ignore totalement des subtilités du genre "la propriété pourrait être énoncée sous une forme compliquée où elle est toujours vraie mais ça ne se voit pas" : non seulement on a Dieu à notre disposition, mais faut imaginer qu'on a dans notre équipe de scientifique des personnes infiniment intelligentes qui savent pour tout "truc théorique" X et pour toute propriété P déterminer si X vérifie P. Je dis bien "truc théorique", car en pratique, on n'arrive pas à mesurer précisément X : par exemple, peut-être qu'on ne mesure une taille qu'à 0.1 millimètre près, j'en sais rien.

Un autre truc qui est toujours vrai pour les propriétés confirmables, c'est que si P est confirmable et Q aussi, alors la propriété "P et Q" est aussi confirmable. Il suffit de confirmer P, puis de confirmer Q.

Enfin, si on a une famille de propriétés confirmables, la nouvelle propriété "au moins l'une de ces propriétés est confirmable" est à son tour confirmable. En effet, si cette nouvelle propriété a lieu, c'est qu'au moins l'une des anciennes a lieu : Dieu, qui sait en trouver au moins une qui a lieu, n'a alors qu'à nous fournir l'indication qui permet de confirmer cette ancienne propriété (et donc la nouvelle).

Maintenant, une propriété, c'est la même chose qu'une partie de l'ensemble des "trucs" : identifiez une propriété et l'ensemble des points où la propriété est vérifiée. Passez des propriétés aux parties, remplacez "confirmables" par "ouverts" et vous venez de découvrir les axiomes de la topologie : félicitations !

C'est nourri par cette entrée de mathoverflow que j'ai adopté la vision "confirmabilité" de la topologie :
https://mathoverflow.net/questions/19152/why-is-a-topology-made-up-of-open-sets

Quand vous rencontrez un concept, si vous voulez vous faire une bonne idée du "pourquoi cette définition", de "comment le visualiser", n'hésitez surtout pas à courir vers le Princeton Companion to Mathematics, qui est vraiment top pour ça ! Les écrits de Terence Tao sont également lumineux.

Dans mon prochain post, je rebondirai sur le lien entre logique et théorie des ensembles. Car là, on vient de voir un lien entre "propriétés confirmables" et "parties ouvertes", mais la théorie des ensembles, c'est plus simple encore, c'est le lien "propriétés"/"parties".

Le 24 juin 2019 à 08:45:12 Kaitsuke a écrit :
Merci khey !

J'enchaîne alors sur la question : c'est quoi une topologie ? Ta manière d'expliquer est épique.

Enfin, je dirais que le lien entre théorie des ensembles et logique est fort. En motivant la topologie, on se rend compte à quel point les parties sont la contrepartie de la notion de propriété, le lien entre ou/et et union/intersection. Quand on commence à faire des logiques alternatives cheloues, les ensembles eux-mêmes chopent des propriétés cheloues (voir par exemple l'article d'Andrej Bauer, "First Steps in Synthetic Computability Theory" (2006))...

Un truc qui fait que la théorie des ensembles a un pouvoir expressif aussi fort, c'est que :
1. On suppose qu'on a de la matière sur laquelle travailler (il existe un ensemble infini).
2. Quand on a un ensemble d'objets/de noms, on peut regarder leurs propriétés/les adjectifs, et les considérer à leur tour comme des objets/noms ! (Et, forcément, on peut recommencer : regarder les adjectifs de ces nouveaux noms, les regarder comme des noms, etc.)
3. L'union/intersection traduit le ou/et logique, mais on a aussi l'opération de produit cartésien qui permet "d'associer les idées" : si je peux considérer la possibilité x dans l'ensemble X de possibilités et y dans Y, j'arrive à concevoir "côté X, j'ai x ; côté Y, j'ai y".

A partir de là, on peut énormément construire, conceptualiser, etc.

Si vous voulez une initialisation rigolote (théorie des ensembles shadocks) et élémentaire à des maths conceptuelles qui débouchent à haut niveau (théorie des catégories, etc.), lisez ce poly :
clicprof.free.fr/IMG/pdf/topos_shadoks.pdf

Vous serez ensuite capable de penser non plus les objets pour ce qu'ils sont mais via leurs interactions avec tous les autres objets (point de vue "propriété universelle"), et vous serez capable d'imaginer une théorie des ensembles où certains ensembles non-vides ne contiennent aucun élément...

Le 24 juin 2019 à 12:28:53 Manager_Excel a écrit :
Super topic, merci l'op pour toutes ces références.
Ta méthode de travail quand tu étais en prepa et ENS ?

Disons ça...

https://www.jeuxvideo.com/forums/42-51-56688534-1-0-1-0-conseils-prepa.htm
https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1012847389
https://www.jeuxvideo.com/eibougnador/forums/message/1012852685

Enfin, un post plus sur la vision des maths que sur les méthodes de travail pour un étudiant en maths...

https://www.jeuxvideo.com/ramzouuul/forums/message/964607854

ainsi que mes contributions (sous le pseudo RisitasUltime) ici :

https://www.jeuxvideo.com/forums/42-51-56646987-1-0-1-0-maths-qui-peut-s-assoir-a-la-table-des-groupes.htm

Le 24 juin 2019 à 12:31:00 SkinnyFatTriste a écrit :
Salut khey
Tu penses qu'il faut combien de temps pour rattraper son retard de 1ere-Terminale S?
Je suis en L1 (que j'ai raté) parce que j'ai trop de lacunes en maths
J'étais le genre de mec à réviser la veille au lycée, maintenant je me fais baiser parce que je connais pas les dérivées, comment mettre au même dénominateur et les autres astuces de calculs

D'ailleurs tu connais un bon livre/site pour connaître toutes les bases ?

Désolé, je n'ai pas trop de références. Je ne sais pas quel temps ça prend, mais ça doit se rattraper. Il me semble que la bonne méthode à suivre est la suivante : tu regardes à partir de quel niveau du collège/lycée il y a des compétences qui devraient être acquises mais ne le sont pas. Genre tu parcours le manuel(quand je dis "le manuel", c'est : si tes premières lacunes remontent à la troisième par exemple, tu regardes le manuel de troisième ; quand tu le finis, tu passes à la seconde, etc. N'aies pas honte à remonter loin : si tu as quelques lacunes mais peu de lacunes de niveau disons seconde, eh bien, tu ne perdras pas de temps à le parcourir puisque pour la plupart des chapitres, tu te rendras compte en quelques minutes que c'est banal pour toi ; ça te consommera du temps quand et uniquement quand tu as des lacunes, auquel cas il est en effet fondamental que ce temps soit dépensé pour combler la lacune)et tu t'arrêtes quand tu vois un chapitre où ce qui y est fait ne te paraît pas évident (en mode si tu devais faire des exercices dessus, tu les torcherais pas). Dès lors, tu révises ce chapitre théoriquement et en faisant des exercices ! Et ce jusqu'à ce que tu torches les exos du chapitre facilement. Ensuite, tu continues jusqu'à finalement avoir épuisé le programme de collège/lycée. Et n'hésite pas à refaire des exercices régulièrement pour maintenir tes nouvelles capacités régulièrement acquises. Genre, je sais pas, chaque mercredi soir, tu tires au hasard deux chapitres qui n'étaient initialement pas maîtrisés (que tu as dû réviser) et tu fais une demi-heure d'exos sur l'un, une demi-heure d'exos sur l'autre, consciencieusement.

Pour estimer le temps qu'il te faut, j'imagine que le plus simple est d'estimer le nombre de chapitres que tu as à réviser, d'en réviser un, et de poser comme estimation grossière le produit du nombre de chapitres par la durée effective de révision pour le chapitre sélectionné.

Bon courage

C'est cool de te lire, t'as une super pédagogie, je vais deguster lebtopic demain pendant que je révise mes orzux

Le 26 juin 2019 à 00:13:01 Jersack a écrit :
C'est cool de te lire, t'as une super pédagogie, je vais deguster lebtopic demain pendant que je révise mes orzux

C'est gentil

C'est quoi le cosinus ?

Le 26 juin 2019 à 00:29:27 Alive07 a écrit :
C'est quoi le cosinus ?

Le cosinus est donné par ce dessin.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cosinus#/media/Fichier:Cosinus-def.svg

C'est la longueur du côté horizontal, comptée positivement ou négativement selon qu'on est à droite ou à gauche de zéro.

Le cosinus mange un nombre réel, donc il faut gérer la question de l'unité de mesure dans laquelle on fournit l'angle : il s'agit du radian. Un angle A correspond à parcourir une longueur A sur le cercle. Puisqu'on arrive au même point après avoir marché 0 ou 2pi (on est sur un cercle de rayon 1), on a cos(A+2pi)=cos(A) ; on dit que le cosinus est 2pi-périodique.

Après, quand on fait des maths sophistiquées, on peut le définir en termes de solutions à une équation différentielle, en termes de série entière, d'exponentielle complexe, etc.

De façon générale, pour une introduction enthousiasmante, visuelle et conceptuelle à plein de sujets, n'hésite pas à checker 3Blue1Brown