[MATHS] J'invoque les JEAN-MATHS pour M'AIDER !

Je suis face à une preuve qui me pose problème en partie. Il y est affirmé à un moment :

Soit f : B^n -> S^n-1 continue telle que f(x)=x sur la sphère.
On note h(x)=f(x)-x
Nous remarquons que h est nulle sur la sphère et que ||h(x)||<=2
Nous pouvons donc choisir t avec 3/4<t<1 tel que :
Pour tout x respectant t<=||x||<=1, ||h(x)||<1/4

Voilà, je ne comprends la partie en gras. D'où vient l'encadrement de t et de ||x||, comment est obtenue la majoration de h ? Juste au cas où, B^n est la boule unité fermée dans R^n et S^n-1 la sphère unité

J'ai voulu utiliser un argument simple comme la continuité avec \epsilon=1/4 mais toujours est-il que je n'arrive pas à aboutir. Je ne suis pas allé plus loin que ça :
\exists t>0,\forall x\in B^n, ||x-u||<t \Rightarrow ||h(x)||<\frac{1}{4} où u est unitaire

Quelqu'un pour m'aider ?https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Demande à ChatGPT l'ahuri

en pétant

Ca me choque qu'il y ait encore des gens qui font des topics dans ce genre alors qu'ils peuvent juste demander à chatgpt, ils auront une réponse pertinente en moins d'1 minute

Le 15 juillet 2023 à 21:20:41 vegeto90053 a écrit :
Demande à ChatGPT l'ahuri

Il est nul en mathshttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

C'est de la topologie ?

Le 15 juillet 2023 à 21:22:31 TotalBourse a écrit :
C'est de la topologie ?

Si tu veux oui

Le 15 juillet 2023 à 21:22:31 :
C'est de la topologie ?

Analyse fonctionnelle

||h|| est continue à valeur réelle, prend la valeur 0 sur la sphère; c'est la définition de la continuité en un point où elle vaut 0

Le 15 juillet 2023 à 21:23:32 ElKheysitas a écrit :

Le 15 juillet 2023 à 21:22:31 :
C'est de la topologie ?

Analyse fonctionnelle

C'est plus juste

Le 15 juillet 2023 à 21:23:46 SuceurDeBonbon a écrit :
||h|| est continue à valeur réelle, prend la valeur 0 sur la sphère; c'est la définition de la continuité en un point où elle vaut 0

C'est bien ce que j'ai écris en LaTex, mais rien ne dit que t est entre 3/4 et 1https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Je pose 32, je retiens 1https://image.noelshack.com/fichiers/2018/05/1/1517233081-math.png

8 ! Oui, c'est ça. 8 !https://image.noelshack.com/fichiers/2018/05/1/1517233084-math3.png

Le 15 juillet 2023 à 21:27:11 Tirie14 a écrit :
Je pose 32, je retiens 1https://image.noelshack.com/fichiers/2018/05/1/1517233081-math.png

8 ! Oui, c'est ça. 8 !https://image.noelshack.com/fichiers/2018/05/1/1517233084-math3.png

Pas tout à faithttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

par continuité, quitte à choisir t plus grand que sa valeur optimale tu peux le supposer >3/4

Le 15 juillet 2023 à 21:25:22 :

Le 15 juillet 2023 à 21:23:46 SuceurDeBonbon a écrit :
||h|| est continue à valeur réelle, prend la valeur 0 sur la sphère; c'est la définition de la continuité en un point où elle vaut 0

C'est bien ce que j'ai écris en LaTex, mais rien ne dit que t est entre 3/4 et 1https://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Bah si, par définition de la continuité, quitte à te restreindre à un voisinage d'un point de la sphère suffisamment petit (par exemple une boule centrée en un point de la sphère de rayon 1/8)

Bah oui c'est logique par continuité et compacité. La fonction h vaut 0 sur S^(n-1) donc dans un voisinage de celle-ci (par exemple pour les x tels que t<||x||<1, pour t assez proche de 1), h est inférieur à 1/4 (en fait le 1/4 pourrait être remplacé par n'importe quel epsilon).

Et pourquoi tu fais des maths en juillet?

prends une calculatrice comme tout le monde bordel

Le 15 juillet 2023 à 21:31:30 CoutMarginal12 a écrit :
Et pourquoi tu fais des maths en juillet?

Mémoire mon bon kheyhttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png
+ Merci pour ta réponse qui m'aide bienhttps://image.noelshack.com/fichiers/2018/10/1/1520256134-risitasue2.png

Soit f : B^n -> S^n-1 continue telle que f(x)=x sur la sphère.
On note h(x)=f(x)-x
Nous remarquons que h est nulle sur la sphère et que ||h(x)||<=2
Nous pouvons donc choisir t avec 3/4<t<1 tel que :
Pour tout x respectant t<=||x||<=1, ||h(x)||<1/4

ChatGPT
Ce problème mathématique concerne une fonction continue f qui mappe l'espace B^n (la boule de dimension n) dans l'espace S^n-1 (la sphère de dimension n-1). On note h(x) = f(x) - x, où x est un point dans B^n.

D'après les informations données, nous savons que h(x) est nulle sur la sphère, ce qui signifie que h(x) = 0 lorsque x appartient à S^n-1. De plus, nous avons l'information que ||h(x)|| <= 2, ce qui indique que la norme de h(x) est inférieure ou égale à 2 pour tout x dans B^n.

Maintenant, nous voulons trouver une valeur t avec 3/4 < t < 1 qui satisfait la propriété suivante :
Pour tout x tel que t <= ||x|| <= 1, ||h(x)|| < 1/4.

Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser le théorème de continuité de la norme. Comme f est continue, la fonction h(x) = f(x) - x est également continue. Puisque la sphère S^n-1 est compacte, la fonction h(x) atteint ses bornes minimale et maximale sur cette sphère.

Supposons que ||h(x)|| atteigne son maximum sur la sphère et soit égal à M. Puisque ||h(x)|| <= 2 pour tout x dans B^n, nous avons M <= 2.

Maintenant, considérons la boule de rayon t avec 3/4 < t < 1, c'est-à-dire l'ensemble des points x tels que ||x|| <= t. Comme la norme est une fonction continue, l'ensemble des points x tels que ||x|| <= t est un ensemble compact. Par conséquent, la fonction ||h(x)|| atteint également ses bornes minimale et maximale sur cet ensemble.

Puisque h(x) est nulle sur la sphère S^n-1, la borne minimale de ||h(x)|| sur la boule de rayon t est 0. En utilisant le théorème des bornes atteintes, nous pouvons dire qu'il existe un point y dans la boule de rayon t tel que ||h(y)|| = 0.

De plus, puisque ||h(x)|| <= 2 pour tout x dans B^n, nous avons ||h(y)|| <= 2. En combinant ces deux informations, nous obtenons 0 <= ||h(y)|| <= 2.

Maintenant, nous pouvons choisir t de manière à ce que 0 <= ||h(y)|| < 1/4. Puisque h(y) = 0, cela signifie que 0 < 1/4, ce qui est toujours vrai.

Ainsi, nous pouvons choisir t avec 3/4 < t < 1 de sorte que pour tout x tel que t <= ||x|| <= 1, ||h(x)|| < 1/4.